UNO MÁS UNO ES IGUAL A... ¿DOS?

Para la electrónica digital, No.

A partir de aquí...

Bienvenidos a los Dominios Booleanos.

 

Hagamos de esto una historia:

En Booland (universo de los booleanos) existen solo dos tipos de habitantes: los unos (1) y los ceros (0). Los primeros representan la verdad, el positivismo, el “power ON” y para la tecnología  TTL  5V, pero no nos adelantemos. Mientras que, lo ceros son el antagónico perfecto, siendo representantes de lo falso, el negativismo, el “power OFF” y para el TTL (otra vez sin adelantarnos mucho) 0V.

Todos ellos son conocidos como entes lógicos, los cuales responden a sus propias leyes. Estas leyes llevan el nombre de “Algebra Booleana”.

Como en cualquier lado, estas leyes buscan un equilibrio en esta comunidad lógica.  Su objetivo es lograr que en conjunto, el trabajo de todos y cada uno de sus habitantes, resulte en un fin determinado y de óptimo funcionamiento.

Ahora ya un poco más empapados en el contexto, analicemos y resumamos:

  • Las variables booleanas sólo pueden tomar valores de unos y ceros. Estas no representan un valor numérico, sino unidades lógicas.
  • Los unos (1) representan: verdadero, activado, sí, switch cerrado, etc.
  • Los ceros (0) representan: falso, desactivado, no, switch abierto, etc.
  • Estas unidades, dentro de booland, se rigen por su propia lógica llamada álgebra booleana.

ÁLGEBRA BOLEANA

En "el mundo real", dentro de las matemáticas, existe una rama encarga de generalizar e identificar las operaciones aritméticas a través de símbolos, la cual es archiconocida como álgebra.

En 1854, el británico y matemático George Boole publicó “Una Investigación de las Leyes del Pensamiento en las Que Se Fundan Las Teorías Matemáticas de La Lógica y Las Probabilidades” donde planteó lo que hoy conocemos como el Algebra Booleana.

A consecuencia de esto, Bool es considerado como un pionero de la computación, ya que gracias a su trabajo, hoy es posible realizar todo tipo de operaciones lógicas.

Cómo imaginas, George Boole, es el padre fundador de Booland, y gracias a él ahora se conocen las leyes que rigen ese particular universo.

Pero vamos a lo práctico.

No hay mejor manera de entender el álgebra booleana que a través de sus propiedades o teoremas, por eso te presentamos las Leyes de Booland.


Leyes de Booland: Los tratados Booleanos.

Retomemos la historia:

Los booleanos sólo pueden realizar dos tipos de interacciones entre si: sumarse o multiplicarse. Por supuesto, esto siempre siguiendo la ley booleana.

Aunque Booland parezca un territorio de paz, entre los booleanos ha existido una competencia milenaria por el liderazgo del sistema.

Esta competencia se mide en pequeñas "batallas", representadas estrategicamente por relaciones algebraicas que se rigen por las leyes booleanas a modo de mantener la transparencia del liderazgo del bando dominante.

El Algebra Booleana, como ya hemos dicho, es el nombre de la ley bajo la cual Booland está regida y la que marca las pautas de esta riña entre bandos lógicos.

Para entender un poco las reglas del juego veamos ahora qué se expone en esta ley. Para ello haremos un paseo por sus artículos más importantes:

Art. 1. Derecho a la Identidad.

X + 0 = X

 X • 1 = X

El derecho a la identidad de un ente lógico está condicionado a la interacción que este realice y con quien la realice.

De ser una suma, siempre que sea con un cero su contrincante, la indentidad del ente está garantizada.

Por otro lado, de ser un producto, siempre que su contrincante sea un uno, el ente tiene asegurada su victoria.

Art. 2. Nulidad de Acción.

 X + 1 = 1

X • 0 = 0

Al contrario del artículo anterior, aquí podemos ver los límites de la validez de una variable ante otra, esta dependiendo del tipo de interacción a realizar.

En una suma, al haber ya involucrado un uno, cualquier otra variable que intervenga será tomada como nula, ya que, como sabemos, en esta operación son los unos los que tienen el mando.

Mientras, al momento de una multiplicación, son los ceros los que no preguntan ni esperan por nadie, pues son ellos quienes tienen la voz.

Art. 3. Idempotencia.

X + X = X

 X • X = X

En una batalla, al ser todos los involucrados del mismo bando, el resultado no puede ser otro que la victora de dicho bando. Al no tener con quien competir, no importa la acción, esta es batalla ganada.

Art. 4. Acción de Complemento.

X' = ( 1 )' =  0

X' = ( 0 )' = 1

No siempre un ente lógico en su estado natural es lo que el sistema necesita para funcionar debidamente. Para esto, la ley booleana aplica la acción de complementación.

Esta acción, la de complementar dicha variable, da como resultado un ente lógico del bando contrario al original. Es decir, un uno complementado es igual a cero y un cero complementado es igual a uno, o como decimos en Venezuela, "¡un salto de talanquera!".

A una variable lógica complementada también se le llama variable "negada". Es decir, siendo X nuestra variables,  a X' se le llamaría "equis negada". Esta también puede ser representada, en vez del apostrofe, con una linea sobre la X.

Art. 5. Complementariedad.

X + X’ = 1

 X • X’ = 0

Como consecuencia de la accion de complementación, si un ente lógico es enfrentado con su "yo" complementado en una suma, el resultado siempre será a favor del bando de los unos. Al ser un producto, los ceros obtendrían la victoria.


A partir de acá hablaremos de entes lógicos como individuos, los cuales responden a un nombre en específico, en estos casos X, Y o Z.

El resultado lógico ya dependerá de los valores lógicos que dichos entes presenten al momento de una interacción.

 

Art. 6. Conmutatividad.

X + Y = Y + X

X • Y = Y • X

Quien llegue más temprano no gana la batalla, en pocas palabras. El lugar que ocupe un ente lógico en una acción no interfiere en el resultado de la misma, sea esta una suma o un producto.

Art. 7. Asociatividad.

 (X + Y) + Z = X + (Y + Z)

(X • Y) • Z = X • (Y • Z)

Aquí especificamente en la unión de un parentesis no está la fuerza, siempre y cuando la batallas a librar esten compuestas en su totalidad por el mismo tipo de interacción. Es una estrategia comunmente empleada en batalla que busca la simplificación, debe ser muy bien estudiada para evitar daños colaterales que compliquen el conflicto.

Art. 8. Distributividad.

X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z)

X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)

Al ser la batalla a librar una combinacion de interacciones, estar fuera del parentesis ofrece cierta ventaja. Ya que le ofrece al ente solitario la opcion de medir fuerzas más de una vez o esperar tranquilamente al resultado de la batalla reñida dentro del parentesis.

Art. 9. Unificación (fusión).

X • Y + X • Y’ = X

(X + Y) • (X + Y’) = X

Algunas veces los problemas de identidad no aportan.

Al competir en una batalla combinada, suma-de-productos o producto-de-sumas, donde intervienen un primer ente en su estado natural contra un sengundo ente y el complemento de este, el primero siempre será victorioso. Podemos verlo como una limpieza de polizones.

Art. 10. Absorción.

 X + X • Y = X

 X • (X + Y) = X

En la primera mitad de este artículo, podemos entender a simple vista que quien figura dos veces gana, porque si no es por RE es por FA.

(X + Y’) • Y = X • Y

(X • Y’) + Y = X + Y

Esto siempre y cuando no se presenten problemas de identidad. En este caso la batalla es ligeramente acortada, más no garantizaría la victoria de la misma.

Art. 11. Factorizar.

(X + Y) • (X’ + Z) =  X • Z + X’ • Y

X • Y + X’ • Z = (X + Z) • (X’ + Y)

Este artículo expone una estrategia propia del sistema booleano. Este permite al mismo reorganizar las interacciones de sus habitantes con el fin de optimizar las labores, ahorrar recursos y aprovechar los espacios.

 

Art. 12. Consenso.

(X • Y) + (Y • Z) + (X’ • Z) =X • Y + X’ • Z

(X + Y) • (Y + Z) • (X’ + Z) =(X + Y) • (X’ + Z)

En la búsqueda de disminuir el número de bajas en batalla, con un consenso el sistema descarta interacciones en las cuales los entes participantes ya formen parte de otras interacciones por separado.

Sin embargo, este tipo de descartes debe ser previamente estudiado con detalle por el sistema, debido a que esta acción por su parte puede resultar en el efecto contrario al deseado. Es decir, en vez de simplificar la batalla, termine complicandola más.

Art. 13. Leyes de Morgan.

( X + Y )' = X' . Y'

( X . Y )' = X' + Y'

A pesar de que ser complementado o "negado" puede ser una acción que altere los principios básicos de un ente lógico, lo cierto es que estos prefieren vivir el proceso de manera separada y no dentro de asociación forzada de un par de parentesis.

Al esta sociedad ser disuelta cada uno de los socios es liberado con sus respectiva acción de complemento y la interacción entre los antiguos socios pasa de suma a producto o de producto a suma.

X + ( X' . Y ) = X + Y

X ( X' + Y ) = X . Y

Este último apartado fue el mejor intento del sistema por solventar los problemas de identidad de la población.

De esta manera un ente del cual el sistema requirió su complementación y es llevado a una serie mayor de interacciones puede ser absuelto.


¿Qué te ha parecido Booland?

Interesante, ¿no?

Y eso que aun no hablamos de en qué trabajan los booleanos mientras tienen sus batallas.

¡Nos leemos pronto!