Hola ingenieros y casi ingenieros, este blog se está convirtiendo en una especie de aula virtual, pero sea lo que sea, creo que sus profesores no explican de la misma manera. Entonces, hagamos esto.

Hoy quiero hablar sobre sistemas de segundo orden. En publicaciones anteriores, he hablado un poco sobre el concepto de sistemas (Haz click aquí) y los sistemas de primer orden (Haz click aquí y aquí también), te invito a leerlos para que puedas seguirme la idea por si no recuerdas del todo esos conceptos.

 

Probablemente en este punto, ya tiene una idea de lo que son los sistemas de segundo orden, los has escuchado o leído sobre ellos repetidamente a lo largo de tus estudios tratando de resolverlos, y sí, son aquellos sistemas que tienen un polinomio de segundo orden en el denominador de su función de transferencia, o coloquialmente, que tienen dos polos en su expresión característica.

 
                                   Eq. 1
 

La expresión típica para un sistema de este tipo se presenta en la ecuación 1; estarás pensando "sí, ya lo he visto, dime algo que nadie me ha dicho".

Bueno, eso sería: "cola de cerdo" y lo has leído bien, "COLA DE CERDO", espero que lo recuerdes bien.

 
 
 

Tal vez, ahora piensas que el estudio de los sistemas de control ha descolocado mis polos, pero este no es el caso, hay una buena historia al respecto.

"Cola de cerdo", es el apodo de la letra griega dseta (ζ) y el hecho de saber sobre este apodo se debe a mi primer profesor de control continuo, casi 9 años después no lo he olvidado y ahora espero que tú también lo recuerdes bien.

Bueno, lo más relevante sobre el factor de amortiguación, conocido en el inframundo de la teoría del control como "cola de cerdo", es que define los polos característicos del sistema y, por lo tanto, condiciona la estabilidad, controlabilidad y observabilidad de dicho sistema.

Por ahora, no te preocupes por el tema de la observabilidad, pero te dejo algunos consejos que te ayudarán a entender cómo la "cola de cerdo" condiciona el lugar geométrico de un sistema de segundo orden, y de ahí cómo esto afecta su controlabilidad y estabilidad.

Como has visto en la ecuación 1, el otro término que caracteriza un sistema de segundo orden se conoce como la frecuencia natural del sistema Wn (y no, este no tiene un apodo, este es el miembro serio de la familia de términos de segundo orden )

Cada sistema, vivo o no, tiene su particular frecuencia natural, gracias a ese fenómeno, es posible estudiar la resonancia.


Pero ¿por qué analizamos esta situación en los sistemas de control?

Vamos a hacer un ejemplo muy típico para explicar la razón, con un motor, si la frecuencia natural de cualquier soporte del motor, en alguna dirección, coincide con la frecuencia de excitación del rotor, habrá una amplificación significativa de las vibraciones, esta es la resonancia actuando.

Si el factor de amortiguamiento (cola de cerdo) es cero (este es un caso teórico porque, en realidad, no ocurre) las amplitudes aumentarán indefinidamente; una situación real sería considerar un bajo factor de amortiguación, en cuyo caso sería una condición desfavorable para el motor debido a que se destruiría y por tanto implicaría una desgracia para los ingenieros de control.

 
 
 

En cualquier caso, los sistemas reales tienen un grado de amortiguación, pero en todos los casos, el aumento de las vibraciones y el estrés es significativo, por lo que el análisis de resonancia siempre debe hacerse, y los ingenieros de control deben tener en cuenta la contribución de la frecuencia natural al lograr estabilidad, seguridad y efectividad.


Ahora. ¿Ves por qué Wn es el término serio en la familia?

Los polos del sistema presentados en la ecuación 1, estarían dados por

    
Eq. 2
 
Como se presenta en la ecuación 2, considerar polos complejos y conjugados indica que el factor de amortiguamiento (cola de cerdo) debe estar entre 0 y 1, esta condición es necesaria pero no suficiente para estudiar la estabilidad del sistema.

El caso del término complejo también se conoce como la frecuencia natural amortiguada.

En cuanto a su representación, es necesario tener en cuenta que la frecuencia natural será la distancia entre el polo y el origen del plano, mientras que la cola de cerdo será el coseno del ángulo que se forma entre el vector y el eje horizontal .

 
 
Fig. 1: Representación de frecuencia natural y factor de amortiguación en plano s

Hay dos aspectos esenciales a tener en cuenta, así que ten esto en cuenta para futuros diseños:

  • Cuando la cola de cerdo es nula, los polos complejos no tienen una parte real, y esto hace que el sistema sea altamente oscilatorio con una respuesta inadecuada para ser utilizado en un sistema de control.
  • Cuando la cola de cerdo es igual a 1 o más de uno, los polos complejos serán puramente reales, y la respuesta del sistema será sobreamortiguada y lenta, esto también se considera inapropiado para su uso en algunos sistemas de control.

En general, el coeficiente de amortiguación (sí, cola de cerdo) de un sistema debe diseñarse con valores entre 0,5 y 0,8, pero hay un caso en el que se permiten coeficientes de amortiguación más pequeños o más grandes.

Por ejemplo, si para una planta dada la existencia de sobreimpulso no es conveniente, entonces la cola de cerdo debe ser igual o mayor que uno, es decir, los polos no deben tener una parte imaginaria.

Un criterio de diseño útil es usar un coeficiente de amortiguación de aproximadamente 0,707, lo que significa que el ángulo θ en la figura 1 es cercano a 45°. En estas condiciones, el sistema es más robusto a las variaciones en los parámetros de la planta o actuador.

Recuerda también que para un coeficiente de amortiguamiento de 0.707, la frecuencia natural es igual al ancho de banda del sistema que se acerca al rendimiento de un sistema ideal de segundo orden.

De la discusión anterior, se puede concluir que el sistema de segundo orden tiene dos parámetros de diseño, la frecuencia natural que está relacionada con la velocidad de la respuesta y el coeficiente de la cola de cerdo que está relacionado con la forma de onda de la respuesta.

Hay otra manera de representar algebraicamente los sistemas de segundo orden como una función de la ganancia K, y el período natural como se presenta en la ecuación 3

 
                                         Eq. 3

De acuerdo a esto, los polos se representarían como se indica en la ecuación 4.

                                      Eq. 4

Las relaciones fundamentales que justifican el cambio de variable para llegar desde la función de transferencia presentada en la ecuación 1 a la función de transferencia presentada en la ecuación 3 son las siguientes:

                                         Eq. 5
                                           

Eq. 6

Donde K, representa la ganancia del sistema y el período natural de dicho sistema.
 


Por hoy dejamos este artículo en este punto, el próximo artículo hablaremos un poco más sobre los sistemas de segundo orden, especialmente sobre sus características.

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¡Nos leemos pronto!