Hola de nuevo Ingenieros y casi ingenieros, espero que estén bien, esta vez continuaremos hablando de los sistemas de primer orden, en este caso sobre aquellos que presentan ceros nulos y ceros no nulos.

Si eres demasiado novato, te recomiendo leer la primera entrada sobre sistemas (Haz click aquí) y la primera parte de este artículo (Otro click aquí).

Entonces, continuamos ...

a) Sistema de primer orden con cero nulo

Ahora que somos capaces de reconocer un sistema de primer orden, podemos hablar ligeramente sobre algunas variaciones que este tipo de sistemas sufre cuando se considera la presencia de ceros.

En este caso, como se observa en la ecuación 1, este tipo de sistema de primer orden tiene un cero en el origen. (Si no lo ves, haz que el numerador sea igual a 0 y despeja s)

                                                        
Eq. 1
 

Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que en este caso no coincide con la ganancia estática G (0) que es igual a 0, y la constante de tiempo Tao.

La ganancia K puede tener cualquier signo, mientras que Tao debe ser positiva para que el sistema sea estable (en el artículo anterior se explicó el motivo).

El lugar geométrico para este sistema será idéntico al que se muestra en el diagrama de polos de la parte 1, solo que esta vez tendremos un cero en el origen, como se puede ver en la figura 1.

 

 Fig. 1: Lugar geométrico de las raices para el sistema de primer orden con cero nulo

Mencioné antes, que la estabilidad está condicionada por la posición de los polos del sistema, también mencioné que los ceros del sistema solo varían la respuesta transitoria sin tener efectos sobre la estabilidad.
En la Figura 2, puedes ver el comportamiento transitorio típico de un sistema de primer orden con cero nulo, se mantiene estable ya que el polo no se ve afectado, pero su respuesta transitoria es muy diferente de la que se muestra en la parte 1.En este caso, la presencia de un cero ubicado en el origen contribuye a la formación de un pico en la señal de salida (pero más adelante, en un próximo artículo discutiremos más en detalle los efectos de la adición de ceros).

 
 

Fig. 2: Respuesta transitoria para una señal de entrada tipo escalón.

Como se ve en la Figura 2, el sistema responde con un salto en la salida cuando la entrada percibe la señal de tipo escalón en la entrada, esta relación entre ambas está determinada por el parámetro k / t.
También se aprecia que el valor final es nulo independientemente del valor final de la entrada porque la ganancia estática también es nula. (Recuerde que aquí, estamos probando el sistema utilizando una señal de entrada de escalón típica)

b) Sistema de primer orden con cero no nulo.

Ahora consideremos el caso en el que tenemos un cero que no es nulo, y podría ubicarse en cualquier lugar del plano geométrico S.
                                            Eq. 2
 

Como puedes ver en la Eq. 2, los parámetros presentados son la ganancia K, que nuevamente coincide con la ganancia estática G (0) como en el sistema de primer orden sin cero, la constante de tiempo T asociada con el cero y la constante de tiempo Tao asociada con el polo.

La ganancia K y la constante de tiempo T pueden tener cualquier signo, mientras que Tao debe ser positivo para que el sistema sea estable (esto se explicó anteriormente).

El lugar geométrico para este tipo de sistema de primer orden será idéntico a los mostrados anteriormente, solo que esta vez el cero ya no estará ubicado en el origen (obviamente porque ya no es nulo)

Hasta el momento, en este punto, para encontrar el cero, tú ya sabes qué hacer, si no lo ves, iguala el numerador a 0, y despeja para s.

 
 

Fig. 3: Lugar de las raices para el sistema de primer orden con cero no nulo

En la figura 3, la representación se realizó suponiendo que el polo es más negativo que el cero. Pero eso depende de los valores de la constante T y t, el signo presentado por T condicionará en qué lado se posicionará el cero, porque podría ubicarse en el lado derecho o izquierdo del plano geométrico, pero esa ubicación cambiaría la respuesta transitoria.

 

 
 

Fig. 4: Respuesta transitoria del sistema de primer orden con cero no nulo

 

Como es posible observar en la figura 4, el sistema responde con un salto en la salida cuando recibe una entrada de tipo escalón, la relación entre ambos está determinada por el parámetro kT / t. Su valor final es diferente de 0 si el valor final de la entrada es diferente de 0.

Recuerda siempre que en una respuesta exponencial, la salida alcanza aproximadamente el 63% de su valor final cuando t=T, y que t es conocida como la velocidad de respuesta, que a menor valor de t, mayor es la velocidad de respuesta del sistema.
Para medir la velocidad de cualquier sistema, el tiempo de establecimiento también se usa al 5% y se define como el tiempo que tarda la salida en ingresar en una banda de ± 5% de su valor final. Para sistemas de primer orden el tiempo de establecimiento ts ≈ 3τ.

 Ahora que hemos terminado con una revisión de lo que es un sistema de primer orden, puede que te preguntes:

"Sí, es tan fácil, ¿por qué estudiarlo?"

 Bueno, sucede que cada sistema real, por muy complejo que este sea, puede ser aproximado por sistemas de bajo orden como este, de ahi que sea tan importante estudiar los sistemas de primer orden y sus variantes, ya que a futuro, simplifica el analisis de sistemas mucho más complejos, los llamados "sistemas de orden superior".

 
 

Entre las aplicaciones industriales más típicas cuyo rendimiento obedece al comportamiento de un sistema de primer orden, podemos encontrar:

  • Tanques de agitación continuo.
  • Tanques de agitación continua no adiabático.
  • Proceso de un gas.
  • Nivel de un proceso.
  • Reactor químico.

Hasta ahora, hemos visto varias de las ventajas derivadas del análisis de la respuesta de un sistema de primer orden.

De este análisis derivan los conceptos principales que permiten el estudio de sistemas de control continuo, y la comprensión de estos conceptos lte permitirá comprender completamente lo que tendrás que hacer cuando diseñes un controlador.Así que aquí hemos llegado con sistemas de primer orden, pronto avanzaremos a detalles más importantes.

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¡Nos leemos pronto!